jueves, 10 de abril de 2008
ley de boole
Álgebra de Boole
Álgebra de Boole (también llamada Retículas booleanas) en informática y matemática, son estructuras algebraicas que rigorizan las operaciones lógicas Y, O y NO, así como el conjunto de operaciones unión, intersección y complemento.
Se denomina así en honor a George Boole, matemático inglés que fue el primero en definirla como parte de un sistema lógico a mediados del siglo XIX. Específicamente, el álgebra de Boole fue un intento de utilizar las técnicas algebraicas para tratar expresiones de la lógica proposicional.
El Algebra de Boole es importante pues permite representar matemáticamente el funcionamiento de los circuitos digitales. Los circuitos digitales son capaces de permanecer en 2 estados, a saber, encendido y apagado, presencia o ausencia de energía.
Estos dos estados son representados matemáticamente por los valores 1 y 0.
Como retículo
El álgebra de Boole es un retículo (A, , +), donde el conjunto A esta formado por dos elementos A={0, 1}, como retículo presenta las siguientes propiedades:
1. Ley de Idempotencia:
c + c = c
c . c = c
2. Ley de Asociatividad:
a . ( b . c ) = ( a . b ) . ca + ( b + c ) = ( a + b ) + c
3. Ley de Conmutatividad:
a . b = b . a
a + b = b+ a
4. Ley de Cancelativo
( a . b ) + a = a
( a + b ) . a = a
Teoremas de ley de boole
Teorema 1: A + A = A
Teorema 2: A • A = A
Teorema 3: A + 0 = A
Teorema 4: A • 1 = A
Teorema 5: A • 0 = 0
Teorema 6: A + 1 = 1
Teorema 7: (A + B)' = A' • B'
Teorema 8: (A • B)' = A' + B'
Teorema 9: A + A • B = A
Teorema 10: A • (A + B) = A
Teorema 11: A + A'B = A + B
Teorema 12: A' • (A + B') = A'B'
Teorema 13: AB + AB' = A
Teorema 14: (A' + B') • (A' + B) = A'
Teorema 15: A + A' = 1
Teorema 16: A • A' = 0
Los teoremas siete y ocho son conocidos como Teoremas de DeMorgan en honor al matemático que los descubrió.
circuito integrado
Detalle de un circuito integrado construido para procesamiento fotográfico.Un circuito integrado (CI) o chip, es una pastilla muy delgada en la que se encuentra una enorme cantidad (del orden de miles o millones) de dispositivos microelectrónicos interconectados, principalmente diodos y transistores, además de componentes pasivos como resistencias o condensadores. Su área es de tamaño reducido, del orden de un cm² o inferior. Algunos de los circuitos integrados más avanzados son los microprocesadores, que son usados en múltiples artefactos, desde computadoras hasta electrodomésticos, pasando por los teléfonos móviles. Otra familia importante de circuitos integrados la constituyen las memorias digitales.
compuertas logicas
Compuertas lógicas
Compuerta lógica AND :
Veamos entonces las compuertas lógicas básicas, para ello definamos el termino “tabla de la verdad”, por utilizarse a menudo en las técnicas digitales.
Se llama tabla de verdad de una función lógica a una representación de la misma donde se indica el estado lógico “
Compuerta lógica AND :
Las puertas lógicas AND (o Y en castellano) son circuitos de varias entradas y una sola salida, caracterizadas porque necesitan disponer de un nivel 1 en todas las primeras para que también la salida adopte ese nivel.
Basta con que una o varias entradas estén en el nivel 0 para que la salida suministre también dicho nivel. Todas las unidades AND o derivadas del AND, deben tener señal simultanea en todas sus entradas para disponer de señal de salida.
Observando el funcionamiento de la unidad AND se comprende fácilmente que las entradas pueden ser aumentadas indefinidamente. Las compuertas AND pueden tener más de dos entradas y por definición, la salida es 1 si cualquier entrada es 1.
Su funcion es f = a . b
Compuerta lógica NAND:
La función NO-Y, llamada mas comúnmente NAND es la negación de la función Y (AND) precedente. Así como en una puerta Y se necesita que exista nivel 1 en todas las entradas para obtener el mismo nivel en la salida, en una NAND el nivel de la salida seria 0 en las mismas condiciones. Por el contrario, cuando hay un nivel 0 en alguna de las entradas de una puerta Y la salida esta a nivel 0, mientras que en iguales circunstancias en una puerta NAND el nivel de salida seria 1. Una designación más adecuada habría sido AND invertido puesto que Es la función AND la que se ha invertido
Compuerta lógica OR :
La función reunión, también llamada O, al traducir su nombre ingles OR, es la que solo necesita que exista una de sus entradas a nivel 1 para que la salida obtenga este mismo nivel. La expresión algebraica de esta función, suponiendo que disponga de dos entradas, es la siguiente : s = a + b. Es suficiente que tenga señal en cualquiera de sus entradas para que de señal de salida (OR). Las compuertas OR pueden tener más de dos entradas y por definición la salida es 1 si cualquier entrada es 1.
Compuerta lógica NOR :
La función NOR consiste en la negación de
Compuerta lógica EX - OR :
La función O exclusiva (“exclusive OR” según el idioma ingles) se caracteriza porque su salida esta a nivel 1 siempre y cuando también lo estén un numero impar de sus entradas.
Para conseguir la función O exclusiva de 3 entradas pueden usarse funciones O exclusiva de dos entradas para acoplarse entre si.
Compuerta lógica EX - AND :
La función Y exclusiva (exclusive AND en ingles) se emplea para verificar comparaciones entre sus entradas. En efecto su salida presenta nivel 1 cuando sus entradas se encuentran en el mismo nivel, sin importar que dicho nivel sea 1 o 0
sistema de numeros digitales
Sistema de números digitales
En el mundo digital se utilizan varios sistemas numéricos, los mas utilizados son: decimal, binario, octal y hexadecimal.
Sistema decimal (base 10)
Este sistema se compone de 10 símbolos o números: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. Utilizando estos símbolos como dígitos de un número podemos utilizar cualquier cantidad. En el mundo digital el sistema decimal es conocido como sistema base 10, evoluciono en forma natural a partir de que el ser humano tiene dos dedos, de ahí proviene la palabra “digito”, que en latín significa dedo.
Este sistema es de valor posicional, donde el valor de cada digito depende de su posición.
Ejemplo: En el numero 530 sabemos que el 5 representa a las centenas, el
Sistema binario ( base 2)
Ya que es muy difícil diseñar un sistema digital que responda a 10 diferentes niveles de voltaje, por eso se creo el sistema binario (base 2) que constan de ceros y unos. Los cuales describen la trayectoria del voltaje cuando este esta arriba o abajo
Binario | Decimal |
000 | 0 |
001 | 1 |
010 | 2 |
011 | 3 |
100 | 4 |
101 | 5 |
110 | 6 |
111 | 7 |
Representaciones de Cantidades Binarias
En los sistemas digitales, la información procesada es por lo general en sistema binario, ha estos se les puede representar por dispositivos que solo tengan dos posiciones, por ejemplo se tiene un interruptor en el cual la posición prendida corresponde a un 1 y la posición prendido corresponde a un 0, entonces se puede obtener la representación de un número binario.
Gráfico:
1 0 1 0 1
Circuitos Digitales
Estos están diseñados para responder a los voltajes de entrada que esten dentro el intervalo 0 admitido y a 1 permitido.
Sistema Hexadecimal (Base 16)
Este sistema requiere el uso de 16 símbolos, siendo formado por los mismos empleados en el sistema decimal y seis letras del alfabeto arábico comprendidas entre A y F. Dado que las computadoras usualmente agrupan conjuntos de bits en múltiplos de cuatro este sistema permite representar a cada grupo con un simple símbolo. Por ello es que es tan usado en estos días. En la tabla de abajo se muestra la relación entre los sistemas.
Sistema Octal (Base 8)
Este sistema es muy usado en trabajos digitales, por su fácil conversión de y hacia el sistema binario. Tiene su base igual a ocho, lo que genera la necesidad de ocho símbolos para representar valores en este sistema y para esta finalidad se seleccionaron los primeros ocho símbolos del sistema decimal: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7.
A continuación del 7 y para seguir contando hacia adelante, hay que agregar una nueva columna a la izquierda la cual tendrá como valor inicial un 1. De esta forma es posible obtener otras ocho nuevas combinaciones tal como sucedía en los otros sistemas comentados anteriormente. Estos son algunos de los valores para cada símbolo.
digital-analogo
Conversores Digital Análogo
En el programa del computador se concluye que una dada variable de operación tenga un determinado valor (p.e. frecuencia de un motor de bomba centrífuga) y este cálculo está alojado en una variable del programa,. Por ende es un número digital.
Para utilizar el valor calculado de la variable, se debe conseguir un número analógico en la forma, por ejemplo, de un voltaje o corriente estandarizado. Habitualmente, nos interesará conseguir una corriente en el rango
La conversión de un número digital a un variable eléctrica analógica se consigue mediante un conversor de digital a análogo CD/A, que habitualmente coexiste en el mismo sistema CA/D (i.e. se especifican conversores CA/D y CD/A en un mismo equipo o circuito).
Conversión analógica-digital
Una conversión analógica-digital (CAD)(ó ADC) consiste en la transcripción de señales analógicas en señales digitales, con el propósito de facilitar su procesamiento (codificación, compresión, etc.) y hacer la señal resultante (la digital) más inmune al ruido y otras interferencias a las que son más sensibles las señales analógicas.
Una señal analógica es aquella que puede tomar una infinidad de valores (frecuencia y amplitud) dentro de un límite superior e inferior y una señal digital es aquella señal cuyas dimensiones (tiempo y amplitud) no son continuas sino discretas, lo que significa que la señal necesariamente ha de tomar unos determinados valores fijos predeterminados en momentos también discretos.
Estos valores fijos se toman del sistema binario, lo que significa que la señal va a quedar convertida en una combinación de ceros y unos, que ya no se parece en nada a la señal original.
Ventajas de la señal digital
1. Ante la atenuación, la señal digital puede ser amplificada y al mismo tiempo reconstruida gracias a los sistema de regeneración de señales.
2. Cuenta con sistemas de detección y corrección de errores que se utilizan cuando la señal llega al receptor, entonces comprueban (uso de redundancia) la señal, primero para detectar algun error, y, algunos sistemas, pueden luego corregir alguno o todos los errores detectados previamente.
3. Facilidad para el procesamiento de la señal. Cualquier operación es fácilmente realizable a través de cualquier software de edición o procesamiento de señal.
4. La señal digital permite la multigeneración infinita sin pérdidas de calidad. Esta ventaja sólo es aplicable a los formatos de disco óptico; la cinta magnética digital, aunque en menor medida que la analógica (que sólo soporta como mucho 4 o 5 generaciones), también va perdiendo información con la multigeneración.
Inconvenientes de la señal digital
1. La señal digital requiere mayor ancho de banda para ser transmitida que la analógica.
2. Se necesita una conversión analógica-digital previa y una decodificación posterior, en el momento de la recepción.
3. La transmisión de señales digital requiere una sincronización precisa entre los tiempos del reloj de transmisor, con respecto a los del receptor. Un desfasaje, cambia la señal recibida con respecto a la que fue transmitida.
Digitalización
La digitalización o conversión analógica-digital (conversión A/D) consiste básicamente en realizar de forma periódica medidas de la amplitud de la señal y traducirlas a un lenguaje numérico.
1. Muestreo: El muestreo (en inglés, sampling) consiste en tomar muestras periódicas de la amplitud de onda. La velocidad con que se toman esta muestra, es decir, el número de muestras por segundo, es lo que se conoce como frecuencia de muestreo.
2. Retención (En inglés, Hold): Las muestras tomadas han de ser retenidas (retención) por un circuito de retención (Hold), el tiempo suficiente para permitir evaluar su nivel (cuantificación). Desde el punto de vista matemático este proceso no se contempla ya que se trata de un recurso técnico debido a limitaciones prácticas y carece, por tanto, de modelo matemático.
3. Cuantificación: En el proceso de cuantificación se mide el nivel de voltaje de cada una de las muestras. Consiste en asignar un margen de valor de una señal analizada a un único nivel de salida. Incluso en su versión ideal, añade, como resultado, una señal indeseada a la señal de entrada: el ruido de cuantificación.
4. Codificación: La codificación consiste en traducir los valores obtenidos durante la cuantificación al código binario. Hay que tener presente que el código binario es el más utilizado, pero también existen otros tipos de códigos que también son utilizados.
Durante el muestreo y la retención, la señal aun es analógica puesto que aún puede tomar cualquier valor. No obstante, a partir de la cuantificación, cuando la señal ya toma valores finitos, la señal ya es digital.
Los cuatro procesos tienen lugar en un conversor analógico-digital.
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